РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № для КЛАССА

Начать решение лучше всего с примера, дающего 8 слагаемых:
P(x)=x²⁰⁰¹+x³+x²+x+1 ,
Q(x)=x²⁰⁰¹+x³+x²+x-1 .

Докажем, что меньше остаться не может.
Не теряя общности, старшие коэффициенты многочленов P(x) и Q(x) можно считать единицами. Обозначим остальные коэффициенты и показатели:
P(x)=x²⁰⁰¹+ax^A+bx^B+cx^C+dx^D ,
Q(x)=x²⁰⁰¹+kx^K+lx^L+mx^M+nx^N .
После их подстановки в F(u,v) и раскрытия скобок получаем 48 слагаемых (старшие сократятся). Из них 16 слагаемых, в которых u или v входит в 2001-ой степени. Чтобы могли сократиться не менее 8 из этих 16 слагаемых, у них, как минимум, должны быть равными показатели, из-за чего и все показатели многочленов P(x) и Q(x) должны быть соответственно равными: A=K , B=L , C=M , D=N (с точностью до выбора обозначений, который пока не был детально зафиксирован). Тогда в F(u,v) сократятся еще 4 пары слагаемых, а остальные приведутся к 10 парам с соответственно противоположными коэффициентами:
F(u,v)=(a-k)(u^Av²⁰⁰¹-u²⁰⁰¹v^A) +(b-l)(u^Bv²⁰⁰¹-u²⁰⁰¹v^B)+
+(c-m)(u^Cv²⁰⁰¹-u²⁰⁰¹v^C) +(d-n)(u^Dv²⁰⁰¹-u²⁰⁰¹v^D)+
+(bk-al)(u^Bv^A-u^Av^B) +(ck-am)(u^Cv^A-u^Av^C)+
+(dk-an)(u^Dv^A-u^Av^D) +(cl-bm)(u^Cv^B-u^Bv^C)+
+(dl-bn)(u^Dv^B-u^Bv^D) +(dm-cn)(u^Dv^C-u^Cv^D) .
Чтобы остались менее 8 из этих 20 слагаемых, должны обратиться в ноль не менее 7 из 10 пар их коэффициентов. Первые 4 пары коэффициентов обращаются в ноль в случае равенства коэффициентов, а следующие 6 - в случае пропорциональности пар коэффициентов при равных степенях в многочленах P(x) и Q(x) . Если обратятся в ноль первые 4 пары коэффициентов: (a-k), (b-l), (c-m) и (d-n) , то многочлены P(x) и Q(x) окажутся равными, что противоречит условию. Следовательно, хотя бы одна из скобок (a-k), (b-l), (c-m) и (d-n) - ненулевая, что даст два ненулевых слагаемых в F(u,v). Но тогда должны быть нулями не менее 4 из 6 скобок (bk-al) , (ck-am) , (dk-an) , (cl-bm) , (dl-bn) , (dm-cn) . Это означает, что из дробей a/k , b/l , c/m , d/n можно четырьмя разными способами выбрать две равные дроби. Последнее же возможно лишь в случае равенства всех четырех этих дробей. Но хотя бы для одной из них мы уже установили, что ее числитель и знаменатель различны (иначе многочлены P(x) и Q(x) оказались бы равными, что противоречит условию), то есть сама дробь не равна 1. Следовательно, таковы же все четыре дроби, откуда следует, что все 4 первые скобки (a-k), (b-l), (c-m) и (d-n) - ненулевые, а потому в F(u,v) не менее 8 ненулевых слагаемых.

(автор решения и задачи - Федотов В.П.)


РЕШЕНИЯ ДРУГИХ ЗАДАЧ:



Федотов Валерий Павлович , 2001-2006гг., контент и дизайн сайта по технологии "барокко".