РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № для КЛАССА

Разобьем многогранник на тетраэдры. Стороны и диагонали многогранника окажутся ребрами этих тетраэдров. Поэтому, если доказать утверждение для произвольного тетраэдра, то оно будет верным и для любого многогранника.
Рассмотрим тетраэдр. Опустим из каждой его вершины высоту на противоположную грань. Хотя бы одна из этих высот упадет внутрь грани (это можно доказать разными способами; например, сославшись на физический смысл: в противном случае тетраэдр окажется неустойчивым и с каждой грани будет опрокидываться на соседнюю, а это противоречит невозможности вечного двигателя).
Обозначим через S вершину, из которой опущена выбранная высота, H - ее основание, а A, B и C - остальные вершины. Пусть P - произвольная точка тетраэдра SABC . Так как тетраэдр SABC разбивается на три тетраэдра - SHAB , SHAC и SHBC , то точка P лежит в одном из них, для определенности - в SHAB . Так как все три угла в вершине H - прямые (AHB , AHS и BHS), то сферы с диаметрами AB , AS и BS пересекутся в этой вершине. Вторая точка пересечения этих сфер симметрична вершине H относительно грани ABS . Отсюда следует, что объединение шаров с диаметрами AB , AS и BS содержит тетраэдр SHAB , а потому точка P лежит хотя бы в одном из этих шаров.

(автор решения – Павлова Светлана, г. Луга)


РЕШЕНИЯ ДРУГИХ ЗАДАЧ:



Федотов Валерий Павлович , 2001-2006гг., контент и дизайн сайта по технологии "барокко".