РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ № 
для
КЛАССА
УСЛОВИЕ
Оценим двумя способами среднее арифметическое величин всех плоских углов многогранника.
Сумма углов в каждой вершине выпуклого многогранника не может быть больше 360º.
Так как в вершине сходятся не менее трех углов, то на каждый из них приходится
в среднем не более 120º. Следовательно, среднее арифметическое величин всех
плоских углов выпуклого многогранника не может больше 120º.
Если бы многогранник имел только семиугольные грани, то сумма углов в каждой его
грани была бы равна 900º. Тогда среднее арифметическое величин всех плоских углов
каждой грани было бы равно 900º/7>120º. Следовательно, среднее арифметическое
величин всех плоских углов выпуклого многогранника оказалось бы больше 120º.
Полученное противоречие доказывает невозможность существования выпуклого
многогранника, имеющего только семиугольные грани.
(автор решения – Федотов Павел, Санкт-Петербург, гимназия №114)
РЕШЕНИЯ ДРУГИХ ЗАДАЧ:
Федотов Валерий Павлович ,
2001-2006гг., контент и дизайн сайта по технологии "барокко".