9 класс

Задача   1
Ответ: нет. Обоснование: Предположим обратное. Тогда возьмем максимальное число (или одно из максимальных, если таковых несколько). Но тогда во всех клетках , имеющих с данной общую вершину или сторону, будут стоять числа, равные максимальному (иначе их среднее арифметическое будет меньше максимального числа, взятого нами). Возьмем теперь одно из этих чисел. Для них будет выполняться аналогичное утверждение. Рассуждая так и дальше, получим, что все числа равны максимальному.

Задача   2
Ответ: 2006=422+112+112 Обоснование: Остаток от деления 2006 на 8 равен 6. Рассмотрим теперь остатки от деления точных квадратов на 8 (В 1-ой строке – остаток от деления числа, а во 2-ой – его квадрата на 8):
0	1	2	3	4	5	6	7	
0	1	4	1	0	1	4	1	
Как видно, остатки от деления точных квадратов на 8 бывают только 0,1 и 4. Следовательно, для представления числа 2006 в виде суммы квадратов двух чисел не хватит. Чтобы представить 2006 в виде суммы 3 квадратов, надо, чтобы один из них давал остаток 4 от деления на 8, а два других - по 1, т.е. одно четное и два – нечетных.
Исходя из этих соображений, при помощи недолгого перебора получим решение: 2006=422+112+112.

Задача   3
Случай с одним цветом можно не рассматривать, поэтому докажем, что двух цветов мало: выбираем две разноцветные точки, которые могут находиться на одной окружности, следовательно, двух цветов действительно мало.
	Теперь докажем, что трёх цветов мало. Выбираем три разноцветные точки, которые могут находиться на одной окружности (т. к. образуют треугольник, вокруг которого можно описать окружность); но, возможно получится вырожденный треугольник, тогда помимо прямой l, на которой лежат все эти точки (А - красная, В, С), есть точка одного из трёх цветов, например - красного (точка D), и мы выбираем точки B, C, и D, которые опять образуют треугольник.
	Докажем, что четырёх цветов нам хватит. На прямой m закрасим по одной точке каждого из трёх цветов (точки А, В и С), а всю остальную плоскость - четвёртым, тогда точки А, В и С никогда не будут находиться на одной окружности, т. е. на любой окружности будет отсутствовать хотя бы один цвет.
	Ответ: 4.
Задача   4
Пример разложения: (x2004-x2003+x2001-x2000+…+x3-x2+1)(x2+x+1)=x2006+x+1.
Решение: по теореме Безу исходный многочлен не делится на x+1, т.к. -1 не является его корнем. Между тем ясно, что произведение многочленов должно иметь вид (P(x)+1)(P1(x)+x+1). Пусть теперь P1(x)=x2. Поделим x2006+x+1 на x2+x+1. У нас получится x2004-x2003+x2001-x2000+…+x3-x2+1, что удовлетворяет условию задачи.

Задача   5
Ответ: при условии, что треугольник будет прямоугольным. 
Обоснование: из формулы для радиуса описанной окружности R=a/2sin (a – одна из фиксированных сторон) получим взятием производной, что R’= -2cos*a/4sin2 .
Экстремум функции R() будет при R’=0 и в этой точке функция принимает наименьшее значение. Отсюда cos=0 и sin не равен 0. Значит, =/2+2k, где k=0,1,2… Т.к. у нас треугольник, то =/2.

Задача   6
Ответ: 11. Обоснование: очевидно, что x - целое (иначе x2-3 и x+6 будут дробными, следовательно, их произведение тоже дробно и не равно 2006). Если x<-6, то x+6<0, а 
x2-3>0.  Значит, их произведение отрицательно и не равно 2006. Если x в промежутке (-6;10], то произведение x2-3 и x+6 меньше 2006. х=11 подходит. Видно, что функция y=(x+6)(x2-3) возрастает при х>√3, поэтому х не может быть больше 11.