8 класс

Задача   1
Предположим, что в столбце (строке) в белой (черной) клетке находится самое большое число. Следовательно, остальные семь чисел строки либо меньше, либо равны наибольшему числу. Числа эти меньше быть не могут, т.к. если они меньше наибольшего, то это наибольшее не может быть их средним арифметическим, что противоречит условию. Следовательно, все числа на доске равны.
Ответ: нет, не могут.

Задача   2
Покажем, что такой треугольник существует. Пусть две его стороны равны а,                                                                    угол между ними равен . По формуле площади треугольника
                 
 Так как площадь равна  и треугольник равнобедренный с боковой стороной , составим и решим уравнение:
 =
  
Так как,  а=2006, то . Область значения синуса от -1 до 1. Т.к. в нашем случае , то такой синус существует, а следовательно существует и такой треугольник.                      
									Ч.т.д.  
Ответ: да, существует.    

Задача   3
Решение: Возьмем произвольную окружность и выберем на ней произвольную точку. Согласно условию, найдется точка, закрашенная в другой цвет. Проведем произвольную окружность через эти две точки. Тогда обязательно найдется точка третьего цвета. Если точки трех цветов окажутся на одной прямой, то рассмотрим любую точку, не лежащую на этой прямой. Её цвет отличается хотя бы от двух из уже выбранных точек. Получаем три точки разных цветов, не лежащие на одной прямой. Через них можно провести окружность. Следовательно, нужно использовать не менее 4 цветов. Покажем, что их и достаточно. 
Для этого сначала закрасим всю плоскость в один цвет. Затем выберем произвольную прямую, разобьем её произвольным образом на 3 подмножества и перекрасим каждое из них в свой цвет. Никакая окружность не может пересечь выбранную прямую больше, чем в двух точках. Следовательно, точки хотя бы одного из этих 3 цветов будут на ней отсутствовать.
Ответ: для требуемой раскраски достаточно 4 цветов. 

Задача   4
=

Задача   5
Решение: После раскладывания красных шариков остались пустыми не менее двух ("несколько") горшочков.  Зеленые шарики Винни-Пух положил в эти горшочки и еще не менее двух. Получаем 2+2=4 зеленых шарика. А красных шариков было еще больше. Значит, красных шариков не менее 5, а горшочков – не менее 5+2=7 . 
Условие, чтобы во всех горшочках оказались разные комбинации шариков, будет выполнено после добавления шариков остальных цветов. Так как число цветов не ограничено, то лучший способ это сделать - брать шарики разных цветов.  При этом нет необходимости добавлять шарики в те 3 горшка, в одном из которых только красный шарик, в другом только зеленый, а в третьем - красный и зеленый. Значит, нужно добавить еще 4 шарика. Всего их: 5+4+4=13.
Ответ: Минимальное количество шариков – 13.
Задача   6
В десятичной системе счисления признак делимости на 9 таков: если сумма цифр числа делится на 9, то и само число делится на 9.
Остаток 10 от деления на 9 равен 1. Аналогично получается и в системе с основанием 2006. Остаток 2006 от деления на 2005 равен 1 => признак делимости на 2005 в 2006-ричной, системе совпадает с признаком делимости на 5 в этой же системе и с признаком делимости на 9 в десятичной системе. 
Таким образом, если обобщить все выше написанное, то можно выдвинуть такую гипотезу: если в системе с основанием n сумма цифр числа делится на n-1, то и само число делится на n-1.