6 класс

Задача   1
Ответ: в таблице МОГУТ быть различные числа, но они в каждом столбце должны быть одинаковы.

Задача   2
Решение: Дик выиграет, если вторым ходом выберет цифру 7, а потом – умножение.     
Ответ:  Возможность сделать беспроигрышный выбор есть у Дика.
Задача   3
Решение: После раскладывания красных шариков остались пустыми не менее двух ("несколько") горшочков. Зеленые шарики Винни-Пух положил в эти горшочки и еще не менее двух. Получаем 2+2=4 зеленых шарика. А красных шариков было еще больше. Значит, красных шариков не менее 5, а горшочков – не менее 5+2=7 . 
Условие, чтобы в каждом горшочке оказалось разное число шариков, будет выполнено после добавления шариков остальных цветов. Это легко, так как число цветов не ограничено.
Ответ: Минимальное количество горшочков – 7. 

Задача   4
Решение:  Запишем натуральное число N в 2006-й системе счисления:
N=a12006n-1+a22006n-2+…+an-12006+an, где ai принимают значения от 0 до 2005.
При делении числа 2006 и 1 на 2005 остатки  от деления совпадают, значит, совпадут остатки и при делении 2006k и 1 на 2005 при натуральном k, значит, 
cсовпадут и остатки при делении (a12006n-1+a22006n-2+…+an-12006+an)
и (a1+a2+…+an-1+ an)  на 2005.
По условию (a1+a2+…+an-1+ an) делится на 2005. Остаток равен 0.
Значит, при делении (a12006n-1+a22006n-2+…+an-12006+an) на 2005 остаток тоже 0.
Ответ:  Лев прав утверждая, что если сумма цифр числа, записанного в системе счисления с основанием 2006, делится на 2005, то и само число делится на 2005.

Задача   5
Решение:   Возможен вариант раскраски в 3 цвета. Это плоскость желтого цвета, а на ней проведена прямая, раскрашенная в два цвета: синий и красный.
Ответ: 3 цвета.
 
Задача   6

Решение:
Пусть а - длина исходного прямоугольника, b - его ширина, а  S=а*b - его площадь. 
После увеличения стороны а на 2006%  новая длина прямоугольника стала равна 21,06а (100%а+2006%=2106%а  или 21,06а).
Пусть на х% уменьшили ширину прямоугольника, тогда новую ширину прямоугольника можно представить как (100-х)*b/100.
Зная, что площадь прямоугольника не изменилась составим уравнение:
а*b=а*21,06*(100-х)*b/100
а*b=а**b*(100-х)
100=*(100-х)
100-х=*100≈4,7483381
х=100*≈ 95,2516619
Ответ: ≈ на 95,2516619%.