10 класс

Задача   1
Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	
Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	
Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	
Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	
Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	
X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	X	Y	

Располагая числа, таким образом, мы получаем два разных числа. 
X и Y – целые
Ответ: Да, могут (в данном случае их 2)
Задача   2
1 – Максимальная площадь ромба достигается при случае, когда все углы = 90º тогда площадь ромба (это квадрат) S= 2006*2006 = 4024036
2 – Минимальная площадь такого ромба стремится к 0   S0 (когда одна из диагоналей  d10);
Значит, может быть построен ромб с любой площадью из интервала 
Ответ: Да существует

Задача   3
Минимальное количество слагаемых – 5, таким образом, получаем
  ;; ;   – допустимое решение.
Ответ: 

Задача   4
1 шаг – раскрасить всю плоскость в 1 цвет (С1);
2 шаг – поставить 1 точку другого цвета (С2) – есть множество окружностей, содержащих оба эти цвета; 
3 шаг – поставить другую точку (С3) – опять множество окружностей (их центры располагаются на серединном перпендикуляре к отрезку С1—С2);
4 шаг – ставим 4 точку (С4) так, чтобы она была на одной прямой с точками С2 и С3.
Тогда нет ни одной окружности, включающей в себя все 4 цвета (С2, С3, С4 – на одной прямой)
Ответ: 4 цвета

Задача   5
Ответ: если третья сторона составляет угол 900 с меньшей из зафиксированных сторон.
 
Зафиксируем меньшую сторону АС. Большая из сторон - АВ  закреплена в одной точке и свободно вращается, образуя различные углы. Обозначим геометрическое место точек В.
Т.к. Центр описанной окружности лежит на пересечении серединных перпендикуляров, проведём прямую, перпендикулярную АС и пересекающую её в точке К – середине АС. Точки, которые будут центрами описанной окружности, будут лежать на этой прямой.
Заметим, что ели угол САВ больше, чем 900,  то центр описанной окружности точка О -  лежит правее, чем центр описанной окружности в случае, если угол САВ = 900 . Значит, чтобы радиус окружности был минимальным, угол САВ должен быть < либо = 900. Уменьшая угол САВ, замечаем, что точка О движется влево, и, когда угол АСВ превышает 900, точка О движется вправо, т.е. минимальное расстояние от точки А до точки О получаем, когда угол АСВ = 900.  Если зафиксированные стороны равны, то радиус описанной окружности  будет минимальным,  когда угол между ними = 900.

Задача   6
Для ответа на вопрос может ли иметь 2006-угольное сечение многогранник, у которого нет ни одного треугольного сечения необходимо и достаточно привести хотя бы один пример такого многогранника.
Этим примером будет две 2007-угольные пирамиды с общим 2006-угольным основанием. Сечение этой фигуры, параллельное её основанию и будет 2006-угольным.
Что бы получилось хотя бы одно треугольное сечение необходимо, чтобы был хотя бы один угол, составленный строго из трёх отрезков, а в рассмотренной фигуре таких углов нет.
Ответ: может.